上海长宁区延安中学高中三年级（上）12月月考数学试题
1、填空题
1．已知集合U={x|1＜x＜5，x∈N*}，集合A={2，3}，则∁UA=__________．
2．已知
，则cosplay（π﹣α）=__________．
3．直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角大小为__________．
4．不等式
＞|x|的解集为__________．
5．函数f（x）=log2（1+x）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=__________．
6．设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2
，则a=__________．
7．已知双曲线C经过点C（1，1），它的一条渐近线方程为
．则双曲线C的规范方程是__________．
8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=3DB，则
=__________．
9．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线
的焦距为__________．
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数k，均有ak=
（Sn﹣Sk）成立，则公比q=__________．
11．下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号是__________．（填写命题所对应的序号即可）
①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；
②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③平面向量的基向量可能互相垂直；
④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．
12．设点M（m，0）在椭圆的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围是__________．
13．函数f（x）的概念域为实数集R，f（x）=
对于任意的x∈R都有f（x+1）=f（x﹣1）．若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不一样的零点，则实数m的取值范围是__________．
14．已知{an}是等差数列，记bn=anan+1an+2（n为正整数），设Sn为{bn}的前n项和，且3a5=8a12＞0，则当Sn取最大值时，n=__________．
2、选择题
15．已知条件p：log2（x﹣1）＜1的解，q：x2﹣2x﹣3＜0的解，则p是q的（）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
16．若方程x2cosplayα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，则圆x2+y2+2xcosplayα﹣2ysinα=0的圆心在 （）
A．第一或第三象限 B．第二或第四象限
C．第一或第二象限 D．第三或第四象限
17．现有某种细胞100个，其中有约占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律进步下去，要使细胞总数超越1010个，需至少经过（）
A．42小时 B．46小时 C．50小时 D．52小时
18．已知f（x）是概念在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若实数m，n满足等式，则
的取值范围是（）
A．
B．
C． D．[1，3]
3、解答卷
19．如图，在xoy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）
（1）若点B（﹣
，
），求tan（
+
）的值；
（2）若+=
，四边形OACB的面积用Sθ表示，求Sθ+
•的取值范围．
20．已知椭圆
（a＞b＞0），右焦点，点
在椭圆上；
（1）求椭圆C的规范方程；
（2）是不是存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且∠AFB=90°？若存在，请求出所有符合需要的直线；若没有，请说明理由．
21．某厂预计从2016年初开始的前x个月内，市场对某种商品的需要总量f（x）（单位：台）与月份x的近似关系为：f（x）=x（x+1）（35﹣2x），x∈N*且x≤12；
（1）写出2016年第x个月的需要量g（x）与月份x的关系式；
（2）假如该厂此种商品每月生产a台，为保证每月满足市场需要，则a至少为多少？
22．设f（x）是概念在[a，b]上的函数，若存在
，使得f（x）在
上单调递增，在
上单调递减，则称f（x）为[a，b]上的单峰函数，
称为峰点，包括峰点的区间称
为含峰区间；
（1）判断下列函数：①f1（x）=x﹣2x2，②f2（x）=|log2（x+0.5）|，什么是“[0，1]上的单峰函数”？如果是，指出峰点，若不是，说明理由；
（2）若函数f（x）=ax3+x（a＜0）是[1，2]上的单峰函数，求实数a的取值范围；
（3）设f（x）是[a，b]上的单峰函数，若m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）≥f（n），求证：（a，n）为f（x）的含峰区间．
23．设数列{an}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+an）+p=2（a1+a2…+an），（其中k、b、p是常数）．
（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+an；
（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{an}的通项公式；
（3）若数列{an}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设Sn是数列{an}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是不是存在这种“封闭数列”{an}，使得对任意n∈N*，都有Sn≠0，且
．若存在，求数列{an}的首项a1的所有取值；若没有，说明理由．
2017-2018学年上海长宁区延安中学高中三年级（上）12月月考数学试题
参考答案与考试试题分析
1、填空题
1．已知集合U={x|1＜x＜5，x∈N*}，集合A={2，3}，则∁UA=__________________________________________________．
【考试知识点】补集及其运算．
【剖析】由题意全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，然后依据交集的概念和运算法则进行计算．
【解答】解：∵全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，
∴集合∁UA={4}，
故答案为：{4}
2．已知
，则cosplay（π﹣α）=__________
__________．
【考试知识点】运用诱导公式化简求值．
【剖析】由条件借助诱导公式求得cosplayα的值，可得需要式子的值．
【解答】解：∵已知=cosplayα，则cosplay（π﹣α）=﹣cosplayα=﹣，
故答案为：
．
3．直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角大小为____________________．
【考试知识点】两直线的夹角与到角问题．
【剖析】借助两条直线的夹角公式求得直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角的值．
【解答】解：直线l1：2x﹣y+1=0的斜率为k1=2，直线l2：x﹣y﹣2=0的斜率为k2=1，
设直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角为θ，则tanθ=|
|=
，
∴直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角为θ=arctan，
故答案为：．
4．不等式
＞|x|的解集为__________．
【考试知识点】其他不等式的解法．
【剖析】不等式即＞0，显然x＜0时不成立．当x＞0时，依据
＜0，求得不等式的解集．
【解答】解：当x＜0时，＞﹣x，即＞0，显然x＜0时不成立．
当x＞0时，＜0，解得0＜x＜2，所以不等式的解集为（0，2），
故答案为：（0，2）．
5．函数f（x）=log2（1+x）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=__________________________________________________．
【考试知识点】反函数．
【剖析】依据f（x）=y=log2（1+x）（x＞0），求出值域f（x）＞0．用x把y表示出来，把x与y互换即可得出．
【解答】解：f（x）=y=log2（1+x）
∵x＞0，
∴y＞0，
由y=log2（1+x），
可得：x=2y﹣1
∴y=2x﹣1（x＞0）
故答案为：y=2x﹣1（x＞0）
6．设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=__________．
【考试知识点】直线与圆的地方关系．
【剖析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为 =1，再由点到直线的距离公式可得 
=1，由此求得a的值．
【解答】解：因为圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2，
故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为 =1，即 =1，解得 a=0，
故答案为 0．
7．已知双曲线C经过点C（1，1），它的一条渐近线方程为．则双曲线C的规范方程是____________________．
【考试知识点】双曲线的规范方程．
【剖析】依据题意，双曲线C的一条渐近线方程为，则可将双曲线的方程设为y2﹣3x2=λ（λ≠0），将点C坐标代入可得λ的值，进而可得答案．
【解答】解：依据题意，双曲线C的一条渐近线方程为，
则可设双曲线的方程为y2﹣3x2=λ（λ≠0），
将点C（1，1）代入可得λ=﹣2，
．
故答案为：．
8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=3DB，则=__________．
【考试知识点】平面向量数目积的运算．
【剖析】依据平面向量的线性表示与数目积运算，即可求出对应的结果．
【解答】解：△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，CD=3DB，
∴==（
﹣
），
∴
=•（﹣
）
=
﹣•
=×62﹣×0
=27．
故答案为：27．
9．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线
的焦距为__________
__________
__________．
【考试知识点】椭圆的简单性质．
【剖析】求出等比中项，然后求解焦距即可．
【解答】解：m是2和8的等比中项，可得m=±4，
当m=4时，曲线是椭圆，可得a=2，c=，则2c=2．
当m=﹣4时，曲线是双曲线，此时，a=1，b=2，c=，
2c=2．
故答案为：或．
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数k，均有ak=
（Sn﹣Sk）成立，则公比q=____________________．
【考试知识点】等差数列的前n项和．
【剖析】由已知条件推导出a2=a1，从而得到q﹣q2=q2，由此能求出公比q=．
【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，
对于任意的正整数k，均有ak=
（Sn﹣Sk）成立，
∴an=a1qn﹣1，
Sn=
，
ak=（Sn﹣Sk）
=
，
当k=2时，
a2=
=a1，
∴，∴，
∴q﹣q2=q2，
q（2q﹣1）=0
解得q=，或q=0（舍）．
∴公比q=．
故答案为：．
11．下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号是__________________________________________________．（填写命题所对应的序号即可）
①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；
②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③平面向量的基向量可能互相垂直；
④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．
【考试知识点】平面向量的基本定理及其意义．
【剖析】本题考查平面向量基本定理，由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判断，得出正确选项．
【解答】解：依据平面向量基本定理知：
①一个平面内任何一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；故错；
②一个平面内有无数多对不平行向量都可作为表示该平面内所有向量的基；故正确；
③平面向量的基向量只须不共线，也会互相垂直；故对；
④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合．若是三个不共线的向量，表示法不惟一，故错．
故答案为：②、③．
12．设点M（m，0）在椭圆的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围是__________________________________________________．
【考试知识点】椭圆的简单性质．
【剖析】设P（x，y）为椭圆上的动点，因为椭圆方程可得﹣4≤x≤4．由|MP2=（x﹣m）2+y2=（x﹣m）2+12（1﹣）=
（x﹣4m）2+12﹣3m2
，结合二次函数的性质及椭圆的性质可知，获得最小值4m≥4，结合点M在椭圆的长轴上，可求m得范围
【解答】解：设P（x，y）为椭圆上的动点，因为椭圆方程为
，故﹣4≤x≤4．
|MP2=（x﹣m）2+y2=（x﹣m）2+12（1﹣）=（x﹣4m）2+12﹣3m2
∵当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=4时，|MP|2获得最小值，而x∈[﹣4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1．
又点M在椭圆的长轴上，所以﹣4≤m≤4．故实数m的取值范围是[1，4]．
故答案为：
1≤m≤4．
13．函数f（x）的概念域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+1）=f（x﹣1）．若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不一样的零点，则实数m的取值范围是______________________________．
【考试知识点】函数零点的断定定理．
【剖析】先确定2是f（x）的周期，作出函数的图象，借助在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点，即可求实数m的取值范围．
【解答】解：由题意，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）﹣1]=f（x），
所以2是f（x）的周期
令h（x）=mx+m，
则函数h（x）恒过点（﹣1，0），
函数f（x）=
在区间[﹣1，3]上的图象
如图所示：
由x=3时，f（3）=1，可得1=3m+m，则m=
∴在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点时，实数m的取值范围是（0，]
故答案为：（0，]．
14．已知{an}是等差数列，记bn=anan+1an+2（n为正整数），设Sn为{bn}的前n项和，且3a5=8a12＞0，则当Sn取最大值时，n=__________．
【考试知识点】数列的函数特质．
【剖析】由3a5=8a12＞0，知3a5=8（a5+7d），a5=﹣56d5＞0，所以d＜0．由a16=a5+11d=﹣d5＞0，a17=a5+12d=4d5＜0，知a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，由此可以推导出Sn中S16最大．
【解答】解：由bn=anan+1an+2且3a5=8a12＞0，
所以，3a5=8（a5+7d）
所以，
＞0，即d＜0
由于a16=a5+11d=，
所以，a1＞a2＞…＞a16＞0＞a17
所以，b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18
由于，b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0
a15＜﹣a18
所以，b15＞﹣b16即b15+b16＞0
所以，S16＞S14
所以S16最大．
故答案为：
16
2、选择题
15．已知条件p：log2（x﹣1）＜1的解，q：x2﹣2x﹣3＜0的解，则p是q的（）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
【考试知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【剖析】求出p，q的等价条件，借助充分条件和必要条件的概念进行判断即可．
【解答】解：由log2（x﹣1）＜1，
得：0＜x﹣1＜2，即1＜x＜3，
即p：
1＜x＜3，
由x2﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，
即q：﹣1＜x＜3，
∴p是q的充分非必要条件，
故选：A．
16．若方程x2cosplayα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，则圆x2+y2+2xcosplayα﹣2ysinα=0的圆心在 （）
A．第一或第三象限 B．第二或第四象限
C．第一或第二象限 D．第三或第四象限
【考试知识点】双曲线的简单性质．
【剖析】因为方程x2cosplayα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，结合三角函数的符号可得，cosplayα•sinα＞0，而圆x2+y2+2xcosplayα﹣2ysinα=0的圆心坐标为（﹣cosplayα，sinα）依据其坐标的特征即可得出结论．
【解答】解：因为方程x2cosplayα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，
∴cosplayα•sinα＞0，
而圆x2+y2+2xcosplayα﹣2ysinα=0的圆心坐标为（﹣cosplayα，sinα）
结合三角函数的符号可得，圆心的横坐标与纵坐标符号相反，
故其地方在第二或第四象限．
故选B．
17．现有某种细胞100个，其中有约占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律进步下去，要使细胞总数超越1010个，需至少经过（）
A．42小时 B．46小时 C．50小时 D．52小时
【考试知识点】指数函数的概念、分析式、概念域和值域．
【剖析】依据分裂的规律得到细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=100×x∈N*，再打造不等式求解．
【解答】解：依据分裂的规律得到细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=100×x∈N*，
由y=100×＞1010，解得＞108，即 xlg
＞8，即 x＞≈45.45．
∴x＞45.45，
故经过46小时，细胞总数超越1010个．
18．已知f（x）是概念在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若实数m，n满足等式，则
的取值范围是（）
A． B． C． D．[1，3]
【考试知识点】函数与方程的综合运用．
【剖析】由函数f（x）是递增函数，且y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，可得函数f（x）是奇函数，
再结合f（n﹣3）+f（
）=0可得（n﹣3）+=0，进而借助数形结合求出结果．
【解答】解：f（x）是概念在R上的增函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，
所以函数f（x）是奇函数；
又f（n﹣3）+f（）=0，
所以（n﹣3）+=0，且4m﹣m2﹣3≥0；
即，
画出不等式组表示的图形，如图所示；
则实数m，n表示一段圆弧，
所以表示圆弧上的点（m，n）与点（0，0）连线的斜率，
所以结合图象可得：的最大值是直线OA的斜率，为
=3，
最小值是直线OB的斜率，可以设为k，
则
，
消去n，得（m﹣2）2+（km﹣3）2=1，
整理得（k2+1）m2﹣（6k+4）m+12=0，
令△=（6k+4）2﹣4×12×（k2+1）=0，
化简得3k2﹣12k+8=0，
解得k=2±，
应取k=2﹣为最小值；
所以的取值范围是：[2﹣，3]．
故选：C．
3、解答卷
19．如图，在xoy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）
（1）若点B（﹣，），求tan（+）的值；
（2）若+=，四边形OACB的面积用Sθ表示，求Sθ+•
的取值范围．
【考试知识点】平面向量数目积的运算；三角函数线．
【剖析】（1）借助任意角的三角函数概念可得sinθ，cosplayθ，再借助半角公式和两角和差的正切公式=即可得出；
（2）借助向量的数目积运算法则、平行四边形的面积计算公式可得=sinθ+cosplayθ+1，再借助两角和的正弦公式即可得出．
【解答】解：（1）∵B，∠AOB=θ，
∴cosplayθ=﹣
，．
∴==2．
∴=
==﹣3．
（2）Sθ=|OA||OB|sinθ=sinθ，
∵
=（1，0），
=（cosplayθ，sinθ），
∴
=+=（1+cosplayθ，sinθ），
∴=1+cosplayθ，
∴=sinθ+cosplayθ+1=+1（0＜θ＜π），
∵
，
∴≤1，
∴．
20．已知椭圆（a＞b＞0），右焦点
，点在椭圆上；
（1）求椭圆C的规范方程；
（2）是不是存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且∠AFB=90°？若存在，请求出所有符合需要的直线；若没有，请说明理由．
【考试知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的规范方程．
【剖析】（1）依据焦点坐标和D点坐标列方程组求出a2，b2即可；
（2）对直线l的斜率进行讨论，用根与系数的关系计算，依据计算结果是不是为0得出结论．
【解答】解：（1）由题意可知，
解得a2=4，b2=2，
∴椭圆C的规范方程为：．
（2）若直线l无斜率，则直线l的方程为x=0，
∴A（0，
），B（0，﹣），又F（，0），
∴∠AFB=∠AFO+∠BFO=90°，符合题意；
若直线l有斜率，设直线l的方程为y=kx，
联立方程组，消元得（1+2k2）x2=4，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=0，x1•x2=﹣，y1y2=﹣．
∴=（x1﹣，y1），
=（x2﹣，y2），
∴
=（x1﹣）（x2﹣）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+2+y1y2
=﹣+2﹣=﹣
≠0，
∴与不垂直，即∠AFB≠90°．
综上，存在过原点的直线l使得∠AFB=90°，直线l的方程为x=0．
21．某厂预计从2016年初开始的前x个月内，市场对某种商品的需要总量f（x）（单位：台）与月份x的近似关系为：f（x）=x（x+1）（35﹣2x），x∈N*且x≤12；
（1）写出2016年第x个月的需要量g（x）与月份x的关系式；
（2）假如该厂此种商品每月生产a台，为保证每月满足市场需要，则a至少为多少？
【考试知识点】函数模型的选择与应用．
【剖析】（1）把x=1代入到f（x）得到f（1）即为g（1），当x≥2时，g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）化简得出分析式；
（2）对所有x∈{1，2，12}有ax≥f（x）列出不等式得到a≥一个函数，求出函数的最大值得到a的取值范围．
【解答】解：（1）g（1）=f（1）=1×2×33=66，
g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）
=x（x+1）（35﹣2x）﹣[（x﹣1）x（35﹣2（x﹣1）]，
=﹣6x2+72x．
当x=1时，g（x）=﹣6x2+72x=66=g（1）．
∴g（x）=﹣6x2+72x；
（2）依题意，对所有x∈{1，2，…，12}有ax≥f（x）．
∴a≥（x+1）（35﹣2x），x∈{1，2，…，12}．
设h（x）=﹣2（x﹣
）2+35+
，
∴h（x）max=h（8）=171．故a≥171．
故保证每月满足市场需要，则a至少应为171台．
22．设f（x）是概念在[a，b]上的函数，若存在，使得f（x）在上单调递增，在上单调递减，则称f（x）为[a，b]上的单峰函数，
称为峰点，包括峰点的区间称
为含峰区间；
（1）判断下列函数：①f1（x）=x﹣2x2，②f2（x）=|log2（x+0.5）|，什么是“[0，1]上的单峰函数”？如果是，指出峰点，若不是，说明理由；
（2）若函数f（x）=ax3+x（a＜0）是[1，2]上的单峰函数，求实数a的取值范围；
（3）设f（x）是[a，b]上的单峰函数，若m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）≥f（n），求证：（a，n）为f（x）的含峰区间．
【考试知识点】函数与方程的综合运用．
【剖析】（1）依次判断各函数在（0，1）上是不是存在很大值点即可得出结论；
（2）求出f（x）的很大值点，令很大值点在区间（1，2）上即可；
（3）借助f（x）的单调性得出f（x）的峰点在区间（a，n）上即可．
【解答】解：（1）①f1′（x）=1﹣4x，令f1′（x）=0得x=，
当0时，f1′（x）＞0，当
时，f1′（x）＜0，
∴f1（x）在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，
∴f1（x）是[0，1]上的单峰函数，峰点为；
②当x∈[0，1]时，f2（x）=|log2（x+0.5）|=．
∴f2（x）在[0，0.5]上单调递减，在[0.5，1]上单调递增，
∴f2（x）不是[0，1]上的单峰函数；
（2）f′（x）=3ax2+1，令f′（x）=0得x=±，
当x＜﹣时，f′（x）＜0，当﹣＜x＜时，f′（x）＞0，
当x＞时，f′（x）＜0，
∴x=是f（x）的很大值点，
∵函数f（x）是[1，2]上的单峰函数，
∴1＜＜2，解得：．
（3）证明：∵f（x）是[a，b]上的单峰函数，
∴存在x0∈（a，b），使得f（x）在（a，x0）上单调递增，在（x0，b）上单调递减，
假设n≤x0，则f（x）在（m，n）上是增函数，
∴f（m）＜f（n），与f（m）≥f（n）矛盾；
∴假设错误，故n＞x0，
∴f（x）在（a，x0）上单调递增，在（x0，n）上单调递减，
∴（a，n）为f（x）的含峰区间．
23．设数列{an}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+an）+p=2（a1+a2…+an），（其中k、b、p是常数）．
（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+an；
（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{an}的通项公式；
（3）若数列{an}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设Sn是数列{an}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是不是存在这种“封闭数列”{an}，使得对任意n∈N*，都有Sn≠0，且．若存在，求数列{an}的首项a1的所有取值；若没有，说明理由．
【考试知识点】数列与不等式的综合；数列递推式．
【剖析】（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+an）﹣4=2（a1+a2…+an），再写一式，两式相减，可得数列{an}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+an；
（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+an）=2（a1+a2…+an），再写一式，两式相减，可得数列{an}是等差数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（3）确定数列{an}的通项，借助{an}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再借助，验证，可求数列{an}的首项a1的所有取值．
【解答】解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+an）﹣4=2（a1+a2…+an），①
用n+1去代n得，3（a1+an+1）﹣4=2（a1+a2…+an+an+1），②
②﹣①得，3（an+1﹣an）=2an+1，an+1=3an，
在①中令n=1得，a1=1，则an≠0，∴，
∴数列{an}是以首项为1，公比为3的等比数列，
∴a1+a2+a3+…+an=．
（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+an）=2（a1+a2…+an），③
用n+1去代n得，（n+1）（a1+an+1）=2（a1+a2…+an+an+1），④
④﹣③得，（n﹣1）an+1﹣nan+a1=0，⑤
用n+1去代n得，nan+2﹣（n+1）an+1+a1=0，⑥
⑥﹣⑤得，nan+2﹣2nan+1+nan=0，即an+2﹣an+1=an+1﹣an，
∴数列{an}是等差数列．
∵a3=3，a9=15，∴公差，∴an=2n﹣3．
（3）由（2）知数列{an}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴an=a1+2（n﹣1）．
又{an}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m﹣1）=a1+2（p﹣1），
得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，
又由已知，，故．
一方面，当时，Sn=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．
其次，当a1=2时，Sn=n（n+1），，则
，
取n=2，则，不合题意．
当a1=4时，Sn=n（n+3），，则
，
当a1≥6时，Sn=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，
，
又，
∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．
